1 Grundbegriffe der Elektrostatik

Kapitel 1
Grundbegriffe der Elektrostatik

Gegenstand:

ruhende elektrische Ladungen
Kräfte derselben aufeinander, genauer: elektrische Felder

1.1 Die elektrische Ladung

es gibt positive und negative Ladungen
Erhaltungssatz der Ladungen: ∑ ⊕ + ∑ ⊖ = const
es gibt eine Elementarladung (atomistische Struktur der Ladung)
e = 1,6 ⋅ 10^-19As (Elektrolyse, Millikan-Versuch)

1.2 Coulombsches Gesetz

Kraft zwischen zwei Punktladungen:

⃗F = --1--⋅---e1e2--⋅⃗r 0 4π ɛ0 |⃗r1 - ⃗r2|2 12

mit

ɛ0 = Dielektrizit¨atskonstante -12-As- = 8,85418781762 ⋅10 V m

Ladungseinheit: 1As = 1C

1.3 Elektrisches Feld

Jede einzelne Ladung q erzeugt einen Zustand des Raumes, den man elektrisches Feld dieser Ladung nennt.

Definition: ⃗
F ≡ q′ ⃗
E (wobei q′ klein, ruhend)

Das elektrische Feld wird definiert über eine Kraft auf eine ruhende Probeladung (mit verschwindend kleiner Ladung limq′→ 0)

Beispiel: el. Feld einer Punktladung q am Orte r₁

′ F⃗ = -1---⋅---qq----⋅-⃗r2 --⃗r1 4πɛ0 |⃗r2 - ⃗r1|2 |⃗r2 - ⃗r1| 1 qq′ = -----⋅-------3-⋅(⃗r2 - ⃗r1) 4πɛ0 |⃗r2 - ⃗r1| ⃗F E⃗ = q′ = -1---⋅---q----⋅-⃗r2 --⃗r1 4πɛ0 |⃗r2 - ⃗r1| |⃗r2 - ⃗r1| = ⃗E(⃗r2) = elektrisches Feld am Ort ⃗r2

speziell: Ladung q im Ursprung, ₁ = und Aufpunkt ₂ =

1 q ⃗r ⃗E(⃗r) = ----⋅ --2 ⋅--- 4πɛ0 |⃗r| |⃗r| -1--- q- = 4πɛ0 ⋅ r ⋅⃗er

Mit || = r, wobei _r der Einheitsvektor in radialer Richtung ist.

⃗
E () ist ein Vektorfeld!

Grundproblem der Elektrostatik:

Gegeben sind ruhende Ladungen (oder Ladungsverteilungen), welches elektrische Feld stellt sich ein?

Für Punktladungen ist das Problem gelöst.

Am Orte _n : q_n N Stück

Kräfte auf q′ bei addieren sich: Superposition der Felder!

N ⃗E(⃗r) = --1--⋅∑ --qn----⋅-⃗r --⃗rn- 4πɛ0 n=1 |⃗r - ⃗rn|2 |⃗r - ⃗rn|

für kontinuierliche Ladungsverteilungen:

Ladung Ladungsdichte ≡ --------- Volumen ρ (⃗r) = lim -Δq- ΔV→0 ΔV oder Δq = ρ(⃗r) ⋅ΔV 1 ∫∫∫ ρ(⃗r) ⃗r - ⃗r ′ ′ ⃗E (⃗r) = 4πɛ-- ------′2 ⋅|⃗r --⃗r-′| dV 0 |⃗r - ⃗r |

Dabei ist dV ′ = dx′dz′dy′.

1.4 Das elektrostatische Potential

Es sei ein elektrisches Feld gegeben, in dem sich die Probeladung q′ befindet:

skiz141.eps

() = q′⋅() Arbeit bei Abschreiten des Weges C:

∫ 2 ∫ ′1′ ∮ 1 F⃗ d⃗s = 1 ⃗F d⃗s = C ⃗Fd⃗s

wegen Energieerhaltung, es hat sich beim Durchlaufen des Wegs nichts geändert!

Reminiszenz an Mechanik:

Ein konservatives Kraftfeld ist ein Vektoreld mit der Eigenschaft ∮ ⋅d = 0 für jeden geschlossenen Weg.

Diese Aussage ist äquivalent mit:

Es existert eine skalare Funktion ϕ() mit

( ) ∂∂ϕx || || ⃗ ⃗ || ∂ϕ || F (⃗r) = - ∇ ϕ = - grad ϕ = || ∂y || ( ) ∂∂ϕz

Hier ist () = q ⋅()

∮ ∮ ⃗F d ⃗s = 0 = q′ ⋅ E⃗ d⃗s

d.h.:

∮ E⃗(⃗r) d⃗s = 0 f¨ur jeden Weg.

⇔∃ skalare Funktion Φ() mit

⃗E (⃗r) = - ⃗∇ Φ(⃗r)

Die skalare Funktion Φ heißt elektrostatisches Potential.

( ) ∫ 2 ∫ 2 dx E⃗(⃗r) d⃗s = - (⃗∇ Φ ) d⃗s mit d⃗s = |( dy |) 1 1 dz ∫ 2 = - ∂Φ- dx+ ∂Φ-dy + ∂-Φ dz 1 ∂◟x-------∂y◝◜-----∂z--◞ = totales Differential dΦ ∫ 2 = - dΦ 1 = - (Φ (⃗r1) - Φ(⃗r2)) = Φ(⃗r2)- Φ (⃗r1) = Differenz der Potentialwerte am Anfangs-und Endpunkt der Reise

skiz142.eps

In der Elektrostatik ist:

∮ ⃗E d⃗s = 0 Satz von ∫∫ Sto=kes rot (⃗E) ⋅d⃗f A

Wiederholung:

rot E⃗ = ∇⃗ × ⃗E || ⃗ex ⃗ey ⃗ez || = || -∂ ∂- -∂ || || ∂x ∂y ∂z || |( Ex Ey Ez)| ∂Ez - ∂Ey || ∂∂Eyx- ∂∂Ezz || = || ∂∂Ezy - ∂∂Ex || ( -∂x - -∂xy-)

⇒

rot ⃗E = ⃗0

1. Maxwellgleichung der Elektrostatik

Beispiel:

Punktladung

Φ(⃗r) = -1---⋅ e- Coulomb -Potential 4πɛ0 |⃗r| 1 e ⃗r - ⃗∇ Φ = ⃗E(⃗r) = 4πɛ--⋅--2-⋅|⃗r| 0 |⃗r|

Ladungsverteilung

⃗ -1---∫∫∫ ′ ---1---- ⃗r---⃗r-′ ′ E (⃗r) = 4πɛ0 ρ(⃗r ) ⋅|⃗r - ⃗r ′|2 ⋅ |⃗r - ⃗r ′| dV ∫∫∫ ′ Φ (⃗r) = -1--- -ρ(⃗r--)-dV ′ 4πɛ0 |⃗r - ⃗r ′|

1.5 Elektrischer Kraftfluß Ψ

dΨ = ⃗E (⃗r) ⋅d⃗f = |E⃗|⋅df ⋅cos(⁄-(E⃗, d⃗f)) Punktladung: dΨ = --1--⋅-e ⋅(⃗e ⋅d⃗f) 4πɛ0 r2 r --1-- -e = 4πɛ0 ⋅r2 ⋅1⋅df ⋅cosϑ e df ⋅cosϑ = -----⋅dΩ da dΩ = ----2--- 4πɛ0 r

In sphärischen Polarkoordinaten: dΩ = sin(ϑ) dϑ dφ

skiz151.eps

Für eine endlich Fläche gilt somit Ψ = -e--
4πɛ0 Ω,

insbesondere gilt für eine eingeschlossene Ladung:

e Ω = 4π ⇒ Ψgeschl.Flaeche = ɛ- 0

viele Ladungen:

∫∫ Ψ = 1-∑ q = ○ ⃗E df⃗ geschl.Flaeche ɛ0 i i

Ladungen außerhalb der geschlossenen Fläche liefern keinen Beitrag zum elektrischen Kraftfluss, er kompensiert sich bei Ein- und Austreten der Feldlinien ⇒ Verallgemeinerung:

∫∫ ⃗ ⃗ 1- ○ E df = ɛ0 ⋅(umschlossene Ladung )

Für kontinuierliche Ladungsverteilungen ρ( ′) gilt:

∫∫ ∫ Ψ = 1- ρ(⃗r ′) dV ′ ɛ0

(Hier wird über das von der Fläche eingeschlossene Volumen integeriert)

Satz von Gauß:

() ist ein Vektorfeld, O(V) ist die Oberfläche des Volumens V.

div A⃗ = ∂Ax- + ∂Ay-+ ∂Az-= ∇⃗ ⋅ ⃗A ∫∫∫ ∫∫∂x ∂y ∂z divA⃗(⃗r ′) dV′ = ○ A⃗⋅df⃗ V O (V ) ∫∫ ∫∫∫ ⇒ ○ ⃗E d ⃗f Ga=uss div ⃗E dV ′ ∫∫∫ s.=o. -1 ρ(⃗r ′) dV ′ ɛ0

Da dies für beliebige Flächen gilt, folgt daraus:

1 divE⃗(⃗r) = ɛ-⋅ρ(⃗r) 0

2. Maxwellgleichung der Elektrostatik

1.6 Poisson-Gleichung

Mit = -Φ ⇒ = -⋅⋅ Φ = -ΔΦ
erhält die 2. Maxwellgleichung damit die Gestalt:

Δ Φ = - 1-⋅ρ (⃗r) ɛ0

Poissongleichung

Sind keine Ladungen vorhanden, hat man also ρ() = 0, erhält man:

Δ Φ = 0

Laplacegleichung

Wiederholung:

Gestalten des Laplace-Operators:

karthesische Koorrdinaten: (x,y,z)

∂2Φ- ∂2Φ- ∂2Φ- ΔΦ = ∂x2 + ∂y2 + ∂z2

sphärische Polarkoordinaten: (r,ϑ,φ)

∂2Φ 2 ∂ Φ 1 ( ∂2Φ ∂ Φ 1 ∂2Φ) ΔΦ = --2-+ --⋅--- + --⋅ --2-+ cot(ϑ)⋅--- + ---2---⋅ --2- ∂r r ∂r r ∂ϑ ∂ϑ sin (ϑ) ∂φ

Zylinderkoordinaten: (ρ,φ,z)

∂2Φ- 1- ∂Φ- 1- ∂2Φ- ∂2Φ- Δ Φ = ∂ρ2 + ρ ⋅∂ ρ + ρ2 ⋅∂φ2 + ∂z